二维随机变量的分布函数

1. 定义 -> $F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\}$, 注意端点分段
2. 性质 ->
   1. 三方为0 -> $F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=F(-\infty,-\infty)=0$
   2. $F(+\infty,+\infty)=1$
   3. 沿x,y正方向, F(x,y)单调不减, 且右连续
   4. 矩形区域$D=\{(x,y)|x_{1}<X\leq x_{2},y_{1}<Y\leq y_{2}\}$上的概率$P=F(x_{2},y_{2})-F(x_{2},y_{1})-F(x_{1},y_{2})+F(x_{1},y_{1})$
3. 边缘分布函数, 退化成一维随机变量 $F_{X}(x)=F(x,+\infty)$, 即在y取到任意值的情况下, 研究x的分布, 反之亦然
4. 已知联合分布是边缘分布的充分条件, 但反过来不成立. 知道 $X$ 和 $Y$ 各自的边缘分布, 一般不能唯一确定 $(X,Y)$ 的联合分布.只有当 $X$ 和 $Y$ 相互独立时: $F(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$ $f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) \quad \text{(连续型)}$ 这时边缘分布才能唯一确定联合分布, 该式子也是事件X,Y相互独立的充要条件

二维离散型随机变量

1. 关键在建立联合分布表, 主要步骤为 ->
   1. 确定联合分布表的维数, m个X值n个Y值对应表的结构为$m\times n$
   2. 利用X,Y的约束关系对表格级逆行适当化简
   3. 求解各个概率$p_{ij}=P\{X=x_i,Y=y_i\}$, 需要充分运用边缘分布的性质
   4. 验算$\sum_{i,j}p_{ij}=1$
2. 判断独立性一般用排除法
   1. 若某项p=0但是独立的X和Y的P都≠0, 则一定不独立
   2. 若独立, 有$p_{ij}=P\{X=x_{i},Y=y_{i}\}=P\{X=x_{i}\}P\{Y=y_i\}$

结论

1. 如果两个变量联合分布, 但是两个变量间有解析关系, 实际上的F(x,y)可能表示成F(min{x,f(x)})
2. 想知道联合分布的变量是否同分布, 可以先求边缘分布(分别的分布函数), 独立性同理
3. 关于例题5, 独立性的判断仅是一个方面, 能想到u,v大小关系(通过x=v/2去判断积分限)可能需要一点…
4. 分布律就是一张表

总结

1. [[概率_3]]